快乐数学4弧度

4 弧度

我们大多数人都不知道为什么圆要有 360 度。在学习高等数学或物理时,我们会记住一个神奇的数字--“圆的大小”,并将自己设置为一个 “圆的360度”。

专家们说:“弧度让数学变得更简单!”但却没有简单的理由(涉及泰勒级数的讨论并不简单)。今天,我们将揭开弧度的真面目,以及弧度让数学更简单的直观原因。

4.1 读书从何而来?

在数字和语言之前,我们有星星。
古代文明利用天文学来标记季节、预测未来和安抚神灵。

  • 人类注意到,星座每年都会移动一整圈--每天都会偏差一点点(“一度”)。
  • 因为一年大约有 360 天,所以一个圆就有 360 度。

4.2 以太阳为数学基础似乎完全合理

地球一年中 ∼360 天是一个很大的数字。在火星上,我们大约有 ∼680 度的圆周,火星年更长(火星的天数也更长,但你明白我的意思)。在欧洲部分地区,他们使用梯度法,即把一个圆分成 400 块。

4.3 弧度

度量角度的方法是看我们的头倾斜了多远。弧度以移动的距离来测量角度。

但绝对距离并不那么有用,因为根据赛道的不同,10 英里的路程是不同的圈数。因此,我们用半径除以弧度,就能得到一个角度:
弧度 = 走过的距离/半径 你经常会看到 θ = s/r,或者用弧度表示的角度 = 弧长除以半径。
一个圆有 360 度或 2π 弧度--绕一圈是 2πr/r。因此,一个弧度约为 360/2π 或 57.3 度。
现在,不要像我一样,在背诵时想着 “太好了,又多了一个单位”。57.3 度太奇怪了"。移动 1 弧度(单位)是非常正常的距离。反过来说,我们认为的 “干净利落的 90 度角 ”意味着移动者走了非常不干净的 π/2 个单位。想想看--"嘿,比尔,你能帮我跑 90 度吗?什么意思?哦,对了,从你的角度看就是π/2英里"。这种奇怪的感觉是双向的。
弧度是一种感同身受的数学方法--一种从仰头转向移动者视角的转变。严格来说,弧度是一种比率(长度除以另一长度)
并没有一个维度。实际上,我们不是数学机器人,把弧度看成 “单位圆上走过的距离 ”会有帮助。

参考资料

4.4 使用弧度

我还在适应用弧度来思考问题。但我们经常会遇到 “移动距离 ”的概念:

  • 在测量某些旋转速度时,我们使用 “每分钟旋转次数”,而不是 “每秒度数”。这是向移动者参考点(“它转了多少圈?”)的转变,而不是任意度量。
  • 当卫星绕地球运行时,我们理解的速度是 “英里/小时”,而不是 “度/小时”。现在除以到卫星的距离,就得到了以每小时弧度为单位的轨道速度。
  • 正弦,这个奇妙的函数,用弧度定义为

这个公式只有在 x 以弧度为单位时才有效!为什么呢?因为正弦与移动的距离有关,而不是与头部倾斜有关。不过这个问题我们留到以后再讨论。

4.5 弧度例 1:公共汽车的车轮

让我们举一个真实的例子:有一辆公共汽车,车轮半径为 2 米(这是一辆怪物卡车公共汽车)。我来说车轮转动的速度,你来说巴士移动的速度。准备好了吗?
“车轮每秒转动 2000 度"。你会想

  • 好吧,车轮每秒转 2000 度。这意味着2000/360,即每秒转 5 又 5/9 圈。圆周率 =
    2πr,所以它在移动,嗯,2 乘以 3.14 乘以 5又5/9。我的计算器呢?. .

“车轮每秒转动 6 弧度"。你会这么想:

  • 弧度是沿单位圆的距离--我们只需按实际半径的比例计算,就能知道我们走了多远。6-2 = 每秒 12 米。下一个问题
    哇哦 没有疯狂的公式,没有飘来飘去的 π - 只需乘法就能将转速转换为线速度。这都是因为弧度是以运动者为单位的。
    反过来也很简单。假设你的 24 英寸轮辋(半径 1 英尺)在高速公路上以每秒 90 英尺(每小时 60 英里)的速度行驶。车轮转动的速度有多快?
    那么,每秒 90 英尺 / 1 英尺半径 = 每秒 90 弧度。

4.6 弧度例2:sin(x)

是时候举个更厉害的例子了。微积分涉及很多方面,其中一个问题是当数字变得非常大或非常小时会发生什么。
选择一个度数 (x),然后将 sin(x) 输入计算器:
当你把 x 变小,比如 0.01 时,sin(x) 也会变小。sin(x)/x 的比值似乎约为 0.017 - 这意味着什么?更奇怪的是,乘以或除以一度是什么意思?能有平方度或立方度吗?
弧度来帮忙!由于弧度指的是行进的距离(弧度不仅仅是一个比值!),我们可以这样解释这个等式:

  • 因此,sin(x)/x 是你所处的高度与你所走过的距离的比值:即 “向上 ”方向的能量。如果垂直移动,该比率为 100%。如果是水平移动,该比率为 0%。
    当一个物体移动了很小的幅度,比如从我们的角度看是 0 到 1 度,它基本上就是在直线上升。如果移动的幅度再小一些,从 0 度到 0.00001 度,那就真的是直线上升了。移动的距离(x)与高度(sin(x))非常接近。
    随着 x 的缩小,这个比例会越来越接近 100%--更多的运动是直线上升。
    弧度可以帮助我们直观地理解为什么当 x 越小时,sin(x)/x 越接近 1。我们只是在垂直方向上做了微小的移动。顺便说一下,这也解释了为什么小数的 sin(x) ∼ x。
    当然,你可以用微积分严格证明这一点,但弧度直觉有助于你理解它。
    记住,这些关系只在用弧度测量角度时有效。
    弧度。使用度数时,你需要将你在圆上的高度(sin(x))与某个观察者的头部倾斜程度(x 度)进行比较,这很快就会变得很难看。


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4.7 重点是什么?

度数有它的用处:在我们的生活中,我们是焦点,我们想知道事物对我们的影响。我的望远镜要倾斜多少度,滑雪板要旋转多少度,方向盘要转动多少度?

  • 度是任意的,因为它们是以太阳为基础的(365 天 ∼ 360 度),但它们是反向的,因为它们是从观察者的角度出发的。
  • 因为弧度是以运动者为单位的,所以等式 “一目了然”。
    将旋转速度转换为线性速度很容易,sin(x)/x 这样的概念也很有意义。
    即使是角度,也可以从多个角度观察,理解弧度会让数学和物理方程更加直观。快乐数学

4.8 小结

  • 角度和弧度是什么?

    • 角度:我们日常生活中用来描述物体转动幅度的单位,通常用度(°)来表示。一个完整的圆周是360度。
    • 弧度:在数学和物理学中,弧度是另一种测量角度的单位,它基于圆的半径和圆弧长度。一个完整的圆周是2π弧度。
  • 为什么需要弧度?

    • 更自然: 在很多数学公式和物理公式中,使用弧度比使用角度更自然,可以简化计算。
    • 国际单位制: 弧度是国际单位制中认可的角度单位。
  • 角度和弧度的转换

    • 弧度转角度: 角度 = 弧度 × (180°/π)
    • 角度转弧度: 弧度 = 角度 × (π/180°)