2 勾股定理

在任意一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

a² + b² = c²

• a 和 b 分别表示直角三角形的两条直角边长度。
• c 表示斜边长度。

我们大多数人都认为这个公式只适用于三角形和几何图形。勾股定理可用于任何形状，也可用于任何将数字平方的公式。

2.1 了解面积是如何工作的

我喜欢从新的角度来看待古老的话题，并发现其中的深度。例如，在写这一章之前，我发现自己对面积的理解并不深刻。
是的，我们可以背诵方程式，但我们真的了解面积的本质吗？
这个事实可能会让你大吃一惊：

• 在正方形中，我们的 “线段 ”通常是一条边，面积就是这条边的平方（边 5，面积 25）。在圆中，线段通常是半径，面积是 πr²（半径 5，面积 25π）。很简单。
  我们可以任意选取一条线段来计算它的面积：每条线段都有一个 “面积因子”：Area = Factor ·(line segment)²
  在这个通用等式中，每条线段都有一个 “面积因子”：

例如，看一下正方形的对角线（“d”）。一个正方形的对角线是 d/√2 因此面积变为d²/2。

2.2 我们可以选择任何线段吗？

当然可以。传统线段（正方形的边）和你选择的线段（周长，恰好是边的 4 倍）之间总是存在某种关系。既然我们可以在 “传统 ”线段和 “新 ”线段之间进行转换
线段之间进行转换，因此使用哪种线段并不重要--只是在乘法运算时，面积系数不同而已。

2.3 我们可以选择任何形状吗？

• 所有正方形都相似（面积总是 s²）
• 所有圆形也相似（面积总是 πr²）
• 所有三角形并不相似：有的胖，有的瘦--每种三角形都有自己的面积系数，这取决于您使用的线段。改变三角形的形状，等式就会改变。

我希望这些高层次的概念是有意义的：

• 面积可以从任何线段的平方中求得，而不仅仅是边或半径 - 每条线段都有不同的 "面积系数”
• 相同的面积方程适用于相似的形状 对于极客来说：为什么所有相似的形状都有相同的面积系数？这是我的直觉：
  相同形状的缩放版本具有相同的比率。为什么呢？
  当我们移动一个物体时，它的表面大小可能会发生变化（近处的停车标志与远处的停车标志），但比例似乎应该保持不变。一个物体是否可以知道它是从远处看的，并修改边长与面积的比例呢？
  考虑两个相似的形状。把大的推开，直到它与小的表面大小相同。现在它们看起来完全一样，因此具有相同的比例（面积与周长等）。现在把大的那个拉回来。这个形状看起来更大了，但它的比例在移动过程中并没有改变--它们和较小的形状是一样的。

2.4 勾股定理的直观认识

我们需要一个关键概念： 任何直角三角形都可以分割成两个相似的直角三角形。在点上画一条垂直线，就能把一个直角三角形分割成两个较小的直角三角形。

Area(Big) = Area(Medium)+ Area(Small)

2.5 有用的应用: 圆

尝试任何形状 我们在图中使用了三角形，这是最简单的二维形状。但是线段可以属于任何形状。例如圆形：
现在我们把它们相加会发生什么呢？

2.6 有用的应用： 平方守恒 勾股定理适用于任何有平方项的方程。

• Network of 50M = Network of 40M + Network of 30M.
非常惊人--第 2 和第 3 个网络共有 7000 万人，但它们并不是一个连贯的整体。拥有 5000 万人的网络与其他网络加起来的价值相当。

• 50 输入 = 40 输入 + 30 输入
• 半径 50 的面积 = 半径 40 的面积 + 半径 30 的面积
• 时速 500 英里时的能量 = 时速 400 英里时的能量 + 时速 300 英里时的能量

2.7 享受你的新发现

在我们的学习生活中，我们一直认为勾股定理是关于三角形和几何图形的。

当你看到一个直角三角形时，就会意识到它的边可以代表形状中任何部分的长度，而边也可以代表任何有正方形的等式中的变量。也许只是我的错觉，但我觉得这很令人惊讶。
这个美丽的定理还有很多很多，比如测量任何距离。请参见下一章。